二、什么是逻辑概率？

现在让我们来考虑如何用概率表达逻辑衍推关系。设想q衍推p（并且p和q都不是逻辑矛盾）。P（p, q）的值会是什么呢？如果我们根据逻辑可能性（或者逻辑必然性）考虑衍推的话，答案就会变得显而易见了。说q衍推p，不过就是说，当q为真时，P（在逻辑上）不可能为假。由于对任意给定命题来说只有两个可能的值，即真和假，所以我们可以得出结论说，P（p, q）等于1。

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如果这样说还是不清楚，那就返回来考虑我们在讨论经典解释时用过的图。当考虑P（p, q）时，我们感兴趣的状态是p⁽¹⁾；q是“给定的”。一般来说，p有两个可能的值；在每一个逻辑上可能的世界里，p或者为真，或者为假。所以现在，在我们的图中，为了给紧贴箭头的地方填上一个值，我们可以这样问：在哪一部分逻辑上的可能世界里，（“给定的”）q为真，但同时p为假？（一个逻辑上的可能世界就是一个在其中不违反逻辑规律的世界。）根据我们对衍推的定义，回答是没有。因此，0必须紧贴着下边那个箭头，而且通过一个排除过程，必须紧贴着上边那个箭头。（一旦假定了p只能或者为真或者为假，“当q为真时，p不可能为假”就等值于“当q为真时，p必然为真”。）

同样的推理表明，根据概率的逻辑观点，当q与p相矛盾时，P（p, q）为0。为了表明这一点，我们只需要注意，与p相矛盾与衍推出“非p”（我把这写作┓p）意思是一样的。当q衍推出┓p时，P（┓p, q）等于1，因此P（p, q）必定为0。简言之，如果在q为真的所有世界里┓p都为真，那么在q为真的所有世界里p就必定为假。

接下来自然要提出的一个问题是：“当q与是否p不相关时，P（p, q）等于多少？”令p代表“英格兰最高峰的高度是海拔978米”，而q代表“达瑞的眼睛是蓝色的”。尽管这两者都是真的，但（有理由认为）它们是完全不相关的；q不是p的证据，p也不是q的证据。现在让我们只考虑那些q在其中为真的可能世界。我们应该期望在大多数这样的世界里p为真吗？似乎并不是这样。我们应该期望在大多数这样的世界里p为假吗？似乎也不是这样。因此，断定P（p, q）等于二分之一似乎是公平的。这是剩下的唯一选择了。（一般来说，当p独立于q时，P（p, q）就等于P（p），你会在附录A中看到这一点。因此，当p与q相互独立时，在P（p）等于二分之一的条件下，P（p, q）只能等于二分之一。下一部分，我们将讨论如何去表示像P（p）这样的无条件概率。）

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还有哪些情况需要考虑呢？用卡尔纳普（Carnap 1950）引入的术语说，还有就是“q部分衍推p”的情况。如果q部分地衍推出p的程度大于衍推出┓p，那么P（p, q）将大于二分之一且小于1。如果q部分地衍推出┓p的程度大于衍推出p，那么P（p, q）将小于二分之一且大于0。请记住，无论在哪种情况下，P（┓p, q）都将等于1－P（p, q）。或者换种说法，P（┓p, q）＋P（p, q）＝1，因为p与非p当中必定有一个是真的。

我这里给出一个例子，其中P（p, q）显然远大于二分之一：

q：1000名性亢奋患者每天服用一颗A型药丸，服用一年。在这一年中，这些人中没有怀孕的。

p：在每天服用一颗A型药丸的一段时间内，玛丽将不会怀孕。

第一条信息q似乎表明，A型药丸是避孕药；而且，我们可以想象从对这种药丸的一种医学试验中获得这样的信息。（设想我们已经排除了那些由于某次忘记服药而导致怀孕的人。）然而注意到下面这一点是重要的：q并没有说到任何关于医学试验的事情，而新的信息可能会出现，它会表明p是可疑的。例如，设想你发现了下面这个情况：

r：q中说到的患者都是男性。

现在似乎就没有任何证据可以证明p或者反对p了。一个名叫阿钦斯坦（Peter Achinstein 1995）的科学哲学家提出了一个更加激进的想法。他认为，r的发现将向我们表明，P（p, q）并不像我们开始所认为的那样远大于二分之一。在他看来，q在多大程度上是p的证据，根本就不是逻辑上的事情。相反，q是否支持p（或者是否支持┓p）属于经验研究方面的问题。然而，逻辑观点的倡导者们自然的回应——或者至少是一开始的回应——是说，我们必须防止把P（p, q&r）与P（p, q）给弄混了。P（p, q&r）的值不一定能告诉我们P（p, q）的值是什么。一旦我们获得新的信息，我们就会认为，不同的条件概率与搞清楚p是否为真是相关的。情况就是这样。

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