0.2 平面机构的自由度

1.运动副的分类及其表示方法

机构是由构件组成的，而机构最主要的特征是各构件之间具有确定的相对运动。这就要求组成机构的各构件必须按一定的方式进行连接，并使各构件之间仍有确定的相对运动。这种使两个构件直接接触并能产生某种相对运动的连接称为运动副。平面机构中，构成运动副的各构件的运动均为平面运动，故该运动副称为平面运动副。

（1）运动副的分类

① 高副：两构件构成点、线接触的运动副称为高副，如图0-5所示齿轮轮齿间的啮合。

② 低副：两构件构成面接触的运动副称为低副，如图0-6所示均为低副。

平面低副按其相对运动形式又可分为转动副和移动副。

（a）转动副：两构件间只能产生相对转动的运动副称为转动副，如图0-6（a）所示。

（b）移动副：两构件间只能产生相对移动的运动副称为移动副，如图0-6（b）所示滑块与导向装置的连接。

（2）运动副的表示方法

① 转动副的画法如图0-7所示，其中带斜线的为固定构件（又称机架）。

② 移动副的画法如图0-8所示。

③ 高副的表示方法如图0-9所示，即绘出其接触处的轮廓线形状。图0-9（a）所示为凸轮副，图0-9（b）所示为齿轮副（也可用一对节圆代替）。

2.构件的分类及其表示方法

（1）构件的分类

构件可分为三类。

① 固定件（机架）：用来支承活动构件的构件。例如图0-1中的汽缸体1就是机架，用以支承活塞4和曲轴2等。研究机构中活动构件的运动时，常以机架作为参考坐标系。

② 原动件：按给定运动规律运动的构件。它的运动是由外界输入的，故又称为输入构件。如图0-1中的活塞4就是原动件。

③ 从动件：机构中随着原动件的运动而运动的其余活动构件。如图0-1中的连杆3、曲轴2等均属于从动件。

（2）构件的表示方法。

实际构件的外形和结构可以是各种各样的。表示构件的原则是：撇开那些与运动无关的构件外形和结构，仅把与运动有关的运动学尺寸用简单的线条表示出来。例如，图 0-3 中的构件5分别与滑块4和6组成移动副，构件5的复杂外形和结构与其运动无关，所以可用图0-10所示的简单线条来表示。

① 一个构件上具有两个运动副，其表示方法见图0-11。图（a）为具有两个转动副的构件，图（b）为有两个移动副的构件，图（c）为有一个移动副和一个转动副的构件。

② 一个构件上具有三个运动副，其表示方法如图0-12所示。图（a）用三角形表示，为了表明这是一个单一的构件，故在三角形内角上涂以焊缝符号。图（b）也用三角形表示，只是将整个三角形画上斜线以表示是一个构件。如果三个运动副共线，可按图（c）所示，用一条直线将其连接，但在中间的转动副处画上半圆的跨越符号，以表示上、下两线段属于同一构件。

其他常用零部件的表示方法可参看GB/T 4460—1984“机构运动简图符号”。

3.平面机构运动简图

（1）机构运动简图与机构示意图

在研究机构运动特性时，为了使问题简化，只考虑与运动有关的运动副的数目、类型及相对位置，不考虑构件和运动副的实际结构和材料等与运动无关的因素。用简单线条和规定符号表示构件和运动副的类型，并按一定的比例确定运动副的相对位置及与运动有关的尺寸，这种表示机构组成和各构件间运动关系的简单图形，称为平面机构运动简图。机构运动简图保持了其实际机构的运动特征，它简明地表达了实际机构的运动情况。

机构示意图是指为了表示机构的结构组成及运动原理而不严格按比例绘制的简图，是用特定的构件和运动副符号表示机构的一种简化示意图，仅着重表示结构特征。

常用构件和运动副的简图符号在国家标准GB4460—84中已有规定，表0-1给出了最常用的构件和运动副的简图符号，可供参考。

（2）平面机构运动简图的绘制

在绘制机构运动简图时，首先必须分析该机构的实际构造和运动情况，分清机构中的原动件（输入构件）及从动件；然后从原动件（输入构件）开始，顺着运动传递路线，仔细分析各构件之间的相对运动情况；从而确定组成该机构的构件数、运动副数及性质。在此基础上按一定的比例及特定的构件和运动副符号，正确绘制出机构运动简图。绘制时应撇开与运动无关的构件的复杂外形和运动副的具体构造。同时应当注意，绘制机构运动简图时，原动件的位置选择不同，所绘制的机构运动简图的图形也不同。当原动件的位置选择不恰当时，构件会相互重叠或交叉，使图形不易辨认。为了清楚表达各构件间的相互关系，绘图时，应选择合适的原动件位置。

绘制平面机构运动简图可按以下步骤进行。

① 首先弄清楚机构的实际构造和运动情况，找出机构的机架和原动件，按照运动的传递线路弄清楚机械原动部分的运动如何传递到工作部分。

② 弄清楚机构由多少个构件组成，并根据两构件间的接触情况及相对运动的性质，确定各个运动副的类型和数目。

③ 恰当地选择投影面，并将机构停留在适当的位置，避免构件重叠。一般选择与多数构件的运动平面相平行的面为投影面，必要时也可以就机构的不同部分选择两个或两个以上的投影面，然后展开到同一平面上。

④ 选择适当的长度比例尺 μl，确定出各运动副之间的相对位置，用规定的符号表示各运动副，并将同一构件参与构成的运动副符号用简单线条联接起来，即可绘制出机构的运动简图。

总之，绘制机构运动简图要以正确、简单、清晰为原则。

下面通过一个实例说明机构运动简图的绘制过程。

4.平面机构的自由度

（1）构件的自由度

在平面运动中，每一个独立的构件，其运动均可分为三个独立的运动，如图0-14所示。即沿x轴和y轴的移动及在xOy平面内的转动。构件的这三种独立运动称为其自由度。构件的位置，可以用其上任意一点A的x坐标、y坐标及其上任意直线AB的倾角α来决定。x、y及α为三个独立的参数。由上述可知：构件的自由度数等于构件的独立运动参数。

（2）运动副的约束

当两构件通过运动副连接时，任一构件的运动将受到限制，从而使其自由度减少，这种对构件独立运动所加的限制称为约束。每引入一个约束，构件就减少一个自由度。有运动副就要引入约束。运动副的类型不同，引入的约束数目也不同。如图0-6（a）所示构件2沿x轴和y轴方向的两个移动都受到限制，而只能在坐标平面中转动，构件的自由度为1。如图0-6（b）所示，移动副也有两个约束。如图0-5所示，构件2相对于构件1在其接触点法线n-n方向的运动受到约束，在切线t-t方向可移动，绕垂直于平面的轴可以转动。由上述可知：平面低副引入两个约束，高副引入一个约束。

（3）平面机构的自由度

① 平面机构自由度的计算公式。

设一个平面机构由N个构件组成，其中必有一个机架，故活动构件数n=N−1。这n个活动构件在没有通过运动副连接时，共有3n个自由度，当用运动副将构件连接起来组成机构之后，则自由度减少。引入一个低副，自由度就减少2个；引入一个高副，自由度就减少1个。如果上述机构中引入了PL个低副，PH个高副，自由度减少的总数为2PL+PH，则该机构所剩的自由度（用F表示）为

式中，F表示平面机构的自由度。注意n为机构中的活动构件的个数，所以公式中的n不包括机架。

概括起来，机构的自由度就是机构所具有的独立运动参数的个数。由前述可知，从动件是靠原动件来带动的，本身是不能独立运动的，只有原动件才能独立运动。通常原动件和机架相联，所以每个原动件只能有一个独立的运动参数，因此，机构的自由度必定与原动件数目相等。

如果原动件数少于自由度数，则机构就会出现运动不确定的现象，如图0-17所示。

如果原动件数大于自由度数，则机构中最薄弱的构件或运动副可能被破坏，如图0-18所示。

如果自由度等于零，则这些构件组合在一起形成的是刚性结构，各构件之间没有相对运动，故不能构成机构，如图0-19。

综上所述，机构具有确定运动的条件是：F大于零且F等于原动件的个数。

② 计算机构的自由度时应注意的问题。

在计算机构自由度时，对以下几种情况必须加以注意。

a.复合铰链。两个以上的构件同时在一处以转动副相连，这就构成复合铰链。

如图0-20（a）所示是三个构件在一处构成复合铰链，从侧视图0-20（b）中可以看出，构件1分别与构件2、构件3构成两个转动副。依此类推，如果有k个构件同时在一处以转动副相联，则必然构成（k−1）个转动副。

b.局部自由度。机构中存在的与构件运动无关的自由度称为局部自由度，在计算机构自由度时应予以排除。

如图0-22（a）所示的凸轮机构。当主动凸轮1绕O点转动时，通过滚子4使从动件2沿机架3移动，其活动构件数n=3，低副数PL=3，高副数PH=1，按式（0-2）得

这说明此机构应有两个原动件，实际上此机构只有一个原动件。这是因为此机构中有一个局部自由度——滚子4绕B点的转动，它与从动件2的运动无关，只是为了减少从动件与凸轮间的磨损而增加了滚子。由于局部自由度与机构运动无关，故计算机自由度时应去掉局部自由度。如图0-22（b）所示，假设把滚子与从动杆焊在一起，这时机构的运动并不改变，则图0-22（b）中n=2,PL=2, PH=1，由式（0-2）得

即说明只要一个原动件，机构运动就能确定，这与实际情况完全相符。

c.虚约束。在机构中，有些运动副引入的约束与其他运动副引入的约束相重复，因而这种约束形式上存在但实际上对机构的运动并不起独立限制作用，这种约束称为虚约束。

如图0-23（a）所示机构中，AB∥CD，称为平行四边形机构，该机构中，连杆2作平动，其上各点的轨迹均为圆心在AD线上而半径等于AB的圆弧，根据式（0-2）得该机构的自由度为

F=3 ×3−2 ×4=1

如图0-23（b）所示，该机构的自由度为

F=3 ×4−2 ×6=0

即表明此机构是不能动的，这显然和实际情况不符。这就是由于引入了虚约束的结果。由于构件1、3、5相互平行且长度相等，所以，B、C、E点的轨迹都是等半径的圆周，如去掉构件5，则构件2上E点的运动轨迹不变。但加上构件5后，多了三个自由度，而引入两个转动副E、F，引入四个约束，所以，结果相当于对机构多引入一个约束。如上所述，这个约束对机构的运动并没有约束作用，所以它是一个虚约束。计算自由度时，应将虚约束除去不计，故该机构的自由度实际上仍为1。

虚约束是机构的几何尺寸满足某些特殊条件的产物。机构中的虚约束常发生在下述情况。

（a）轨迹重合。机构中两构件相连，连接前被连接件上连接点的轨迹和连接件上连接点的轨迹重合，如图0-23（b）所示。

（b）两构件同时在几处接触并构成多个移动副，且各移动副的导路互相平行或重合。如图0-24所示，只算一个移动副，其余是虚约束。

（c）两构件间在几处构成转动副且各转动副轴线重合时，只能算一个转动副，其余为虚约束，如图0-25所示。

（d）机构中对传递运动不起独立作用的对称部分。如图0-26所示轮系，中心轮1经过两个对称布置的小齿轮2和2′驱动内齿轮3，其中有一个小齿轮对传递运动不起独立作用。这是为了改善受力情况而装设的，实际上只需要一个小轮就能满足运动要求。

各类虚约束在机构的设计中是很常见的，因为它可以改善机构的受力情况。在计算机构的自由度时，应先分析，如有局部自由度和虚约束，可先除去，然后用式（0-2）计算。