1.7　实验数据的记录、测量结果的表示及实验误差

1.7.1　误差的种类、起因和减免误差的措施

物理量测量过程中，有很多因素影响所得实验结果的准确程度，即人们不能得到绝对无误的真值，只能对测试对象做出相对准确的估计。因此要求实验工作者必须有正确的误差概念，能够判断误差的种类，找出产生误差的原因，然后有针对性地采取措施，以提高测定的准确度。

误差按产生的原因及特点可分为三类。

（1）系统误差

这种误差使测量结果总是偏向某一方，使所测的数据恒偏大或恒偏小。引起系统误差的因素有：测量仪器未经校准或调节不当；实验方法不够完善；计算公式的近似性；化学试剂纯度不够；实验者操作上的不良习惯等。

系统误差不能通过增加测量次数取平均值来消除。一般通过采用空白试验、对照试验和仪器校正，发现系统误差，而后通过对仪器的校正和精心调节、实验方法的改进、试剂的提纯、实验者不良习惯的改正等措施使系统误差消除或减少到最小限度。

（2）随机误差（又称偶然误差）

随机误差由于外界条件（如温度、湿度、压力、电压……）不可能绝对保持恒定，它们总是不时地发生着不规则的微小变化，以及实验者在估计仪器最小分度值以下数值时难免会有时略偏大有时略偏小等因素引起。所以随机误差有时大，有时小，有时正，有时负。虽然可通过改进测量技术、提高实验者操作熟练程度来减小，但不可避免。随机误差一般服从正态分布规律，其分布特点之一是绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相等，因此可采用多次测量取平均值的办法来消除。

如果测量中只存在随机误差，而且测量次数足够多时，根据上述随机误差的分布特点，测量结果的算术平均值可以代替真值。

（3）过失误差

由于操作不仔细（如看错读数、加错试剂、记录写错等）而造成的误差称为过失误差。只要实验者严肃认真地进行实验工作，这种误差就可避免。

总之，一个好的测量结果应该只含有随机误差。

1.7.2　有效数字和实验可疑数据的取舍规则

有效数字的有效位是指从数字最左边第一个不为零的数字起到最后一位数字的数字个数。例如：20.57g、0.02057kg都是4位有效数字，最后一位数字是估计出来的，为可疑数字，但它不是臆造的，所以记录时必须保留。注意首位数字≥8的数据，其有效数字的位数可多算一位，如8.64可看作4位有效数字，而常数、系数等，有效数字的位数没有限制。

（1）有效数字的修约

任何测量的准确度都是有限的。人们在实验中只能以一定的近似值表示该测量结果，因此在实验记录时，既不可随意多写数字的位数，夸大测量精度；也不可轻率少写数字的位数，降低测量的精度。如在酸度计上读取某试液的pH为6.20。若记作6.2或6.200二者都不能正确如实地反映测量的精度。在数据后的“0”也不能任意增加或删去。有效数字修约时应采用“四舍六入五成双”规则：当测量值中被修约的数字≤4，则舍去；≥6，则进1；等于5时其右边的数字并非全部为0，则进1，若其右边的数字皆为0，所拟保留的末位数字为奇数时，则进1，若为偶数（包括“0”）时，则不进。注意修约数字时，应一次修约到所需要的位数，不得连续进行多次修约。

（2）有效数字的运算

加减运算结果中，保留有效数字的位数应与绝对误差最大的一个数据相同。乘除运算结果中，保留有效数字的位数应以相对误差最大（即位数最少）的数据为准。如在乘、除、乘方、开方运算中，若第一位有效数字≥8时，则有效数字可以多计一位，如8.25可看作四位有效数字。对数计算中，对数小数点后的位数应与真数的有效数字位数相同。计算式中用到的常数以及乘除因子，可以认为其有效数字的位数是无限的，不影响其他数据的修约。实验中按照操作规程使用经校正过的容量瓶、移液管时，其体积如250mL、10mL，达刻度线时，其中所盛（或放出）溶液体积的精度一般可认为具有4位有效数字。

（3）可疑数据的取舍

分析测定中常常有个别数据与其他数据相差较大，成为可疑数据（或称离群值、异常值）。对于有明显原因造成的可疑数据，应予舍去，但是对于找不出充分理由的可疑数据，则应慎重处理，不可一概保留，也不可随意舍去。应根据数理统计的规律，判断这些可疑数据是否合理，再行取舍。

在3～10次的测定数据中，有一个可疑数据时，可采用Q或4d检验法决定取舍；若有两个或两个以上可疑数据时，宜采用Grubbs检验法。

1.7.3　实验记录

实验记录是对研究工作的原始状况的记载，是整理实验报告和研究论文的依据。实验记录也是培养学生严谨的科学作风和良好工作习惯的重要环节。

学生应有专用、预先编有页码的实验记录本。在使用过程中，记录本不得撕去任何一页。实验记录中，对文字的记录应整齐清洁。记录数据尽量使用表格形式更为清楚明白。实验记录应尽可能详细，有些似乎没有用的数据也宁可在整理实验报告时舍去，以避免因缺少数据而重新做实验。总之，当实验记录完成时，别人应能看懂所记录的内容，并能根据记录重复该实验的全部内容。

实验过程中，应及时、准确地记录各种测量数据。注意有效数字的位数，绝不能随意拼凑和伪造数据；在重复观测时，每一个数据，都是测量结果，即使数据完全相同，也应记录下来。在实验记录过程中，如发现数据算错、测错或读错而需要改动时，可将该数据用一横线划去（不要涂改或抹掉），并在其上方写上正确的数字。

实验过程中涉及的各种特殊仪器的型号以及溶液的浓度、摩尔比等，也应准确记录。实验记录要如实反映实验过程的情况。当实际发生的实验现象和预期的相反时，或与教材所叙述的内容不一致时，也应记下实验的情况，以便探讨其原因。

1.7.4　实验数据的表示

取得实验数据后，应以简明的方式表达出来。通常可采用列表法、图解法和数学方程表示法等表达方法。

（1）列表法

列表法是将一组实验数据中的自变量和因变量按一定形式和顺序一一对应列成表格。

列表法简单易行，不需特殊图纸和仪器，形式紧凑又便于参考比较。在同一表格内，可以同时表示几个变量间的变化情况。实验的原始数据一般是用列表法记录。列表时需注意以下事项。

①每一表格应有完整简明的表名。若表名不足以说明表中数据含义时，则在表名或表格下面再进一步说明。如获得数据的实验条件、数据来源等。

②表格中每一横行或纵列要有名称和单位。在不加说明即可了解的情况下，表格中应尽可能用符号表示。

③自变量的数值常取整数或其他方便的值，间距最好均匀，按递增或递减的顺序排列。

④表中所列数据的有效数字位数应取舍适当，同一纵列中小数点应上下对齐，以便相互比较。表中数值为零时应记作“0”，数值空缺时应记为短横“—”。

（2）图解法

将实验数据按自变量与因变量的对应关系标绘成图形，能够把变量间的变化趋向，如极大、极小、转折点、周期性变化以及变化速率等重要特性直观地显示出来，便于进行分析研究。为了把实验数据用图形正确地表示出来，需注意以下一些要点。

①正确选择坐标纸　应根据具体情况选择直角毫米坐标纸、半对数坐标纸或对数坐标纸。

②正确选择比例尺度　下面就直角毫米坐标图绘制技术作一简要的说明。习惯上以x轴代表自变量，y轴代表因变量，横、纵坐标原点不一定从零开始。坐标轴应注明所代表的变量的名称和单位，一般将坐标轴表示的物理化学量除以其基本单位得到的纯数字量作为坐标。如某坐标轴表示物理量温度，其单位为K（或℃）。若用温度除以基本单位1K（或1℃），其结果就成为纯数字量。这样的处理是使绘图规范化和带来方便。从图中读出数据时应注意单位的变化。坐标轴上比例尺度的选择对表达实验数据及其变化规律极为重要。坐标分度应便于读出图上任一点的坐标位置。而且其精度应与测量的精度一致。对于主线间分为十等份的直角坐标，每格所代表的变量值以1、2、4、5等数量最为方便，应避免采用3、6、7、9等数值。在最小分度不超过实验数据精度的情况下，可用低于最小测量值的某一整数点作起点，以高于最大测量值的整数作终点，使全图布局匀称。

③点和线的描绘　作图点标绘于坐标纸上时，可用点圆符号（“○”），圆心小点表示测得数据的正确值，圆的大小粗略表示该点的误差范围。若需在一张图纸上表示几组不同的测量值时，则各组数据应分别选用不同形式的符号，以示区别，如用形式为“△”、“▲”、“×”、“○”、“●”等符号，并在图上简要注明各符号分别代表何种情况。

如各实验点呈直线关系，用铅笔和直尺依各点的趋向，在点群之间画一直线。注意所取的直线应使所在的直线两侧的点数近乎相等。对于曲线来说，一般在其平缓变化部分，测量点可取得少些；而在关键点，如滴定终点、极大、极小以及转折等变化较大的区间，应适当增加测量点的密度，以保证曲线规律是可靠的。

描绘曲线应表现出整体走向，一般不必通过图上所有的点，但应力求使各点均匀地分布在曲线两侧附近。对于个别远离曲线的点，作图时先用硬铅笔（2H）沿各点的变化趋势轻轻描绘，再以曲线板逐段拟合手描线的曲率，绘出光滑曲线。为了使曲线各段连接处光滑连续，使用曲线板时，不应将曲线板上的曲边与手描线的所有重合部分一次描完，应每次只描段为宜。

④图名和说明　每图应有简明标题，注明获得数据的主要实验条件、作者姓名（包括合作者姓名）以及实验日期等。

（3）数学方程表示法

仪器分析实验数据的自变量与因变量之间多呈直线关系，或是经过适当变换后，使之呈现直线关系。许多分析方法都是利用这一特性由工作曲线查得待测组分的含量，进行定量分析。由于测量误差是不可避免的，所有的实验点都处在同一条直线上的情况较少见，在测量误差较大时，实验点就会比较散乱，仅凭眼睛观察各实验点的分布趋势和走向，绘出合理的直线更加困难。较为妥当的方法是对数据进行回归分析，以数学方程的表示方法，描述自变量与因变量之间的关系。可采用两种方法进行一元线性回归分析，即平均值法和最小二乘法。

1.7.5　实验结果的表示

在实验结果报告中，只需列出测定次数n，测定平均值x及标准偏差s三项，即可反映出测定数据的集中趋势（准确度）和各次测定数据的分散情况（精密度），而不必列出全部数据。

一般对单次测定的一组结果x1，x2，…，xn，计算出算术平均值。然后，应再计算出单次测量结果的相对偏差、平均偏差、标准偏差、相对标准偏差等，它们是化学实验中最常用的处理数据的方法。

算术平均值为：n次测量数据x1，x2，…，xn

　　 相对偏差为： 　　

平均偏差为：

平均偏差没有正负号。

相对平均偏差是实验中最常用的确定分析测定结果精密度好坏的方法。

　　 标准偏差为

化学实验数据的处理，有时是大宗数据的处理，甚至有时还要进行总体和样本的大宗数据的处理。例如某河流水质调查，地球表面的矿藏分布，某地不同部位的土壤调查等。其他有关实验数据的统计学处理，例如置信度与置信区间、是否存在显著性差异的检验及对可疑值的取舍判断等可参考《分析化学》教材的有关章节或有关专著。在一组平行测量中，出现个别测量值偏离较大的现象。这时，首先要检查一下是否在测量中出现了错误，若没有，则必须由统计规律来决定取舍，一般较简单的方法是4d法或Q检验法。

在化工实验中，除了以上的算术平均值外，还常用几何平均值、均方根平均值和对数平均值等几项。均方根平均值主要用于计算气体分子动能。当一组测量数据取对数后，所得数据分布曲线呈对称曲线时，常用几何平均值。在化学反应和热量、质量传递过程中，测量数据的分布曲线具有对数特性时，采用对数平均值。

几何平均值是将一组n个测量值连乘并开n次方求得：

均方根平均值按下式计算：

设有两个测量值x1和x2，其对数平均值的计算公式为：